Значение числа 8008

Задача о счастливых билетах :: Производящие функции

Значение числа 8008

Одним из классических примеров использования производящих функций является задача о счастливых билетах.

Троллейбусный (трамвайный) билет имеет номер, состоящий из шести цифр. Билет считается счастливым, если сумма первых трёх цифр равна сумме последних трёх, например, 024321. Первая цифра номера билета может быть нулём.

Известно, что количество счастливых билетов из шести цифр равно 55252.

Но как это число было получено? Вообще, как решать более сложную задачу: для любого положительного целого n указать количество 2n-значных счастливых билетов?

Здесь будут рассмотрены некоторые известные методы решения данной задачи. Количество счастливых билетов из 2n цифр будем обозначать символом Ln.

Метод динамического программирования

Введём обозначение:  — количество n-значных чисел с суммой цифр, равной k (число может начинаться с цифры 0). Понятно, что любой билет состоит из двух частей: левой (n цифр) и правой (тоже n цифр), причём в обеих частях сумма цифр одинакова. Количество счастливых билетов с суммой k в одной из частей, очевидно, равно . Значит общее количество 2n-значных счастливых билетов равно

Верхний индекс суммирования равен 9n, так как максимальная сумма цифр в одной части билета равна 9n.

Теперь осталось найти все значения . Количество n-значных чисел с суммой цифр k можно выразить через количество (n-1)-значных чисел, добавляя к ним n-ю цифру, которая может быть равна 0, 1, …, 9:

Здесь неявно предполагается, что для n≥0. Положим по определению .

Вычисление значений по указанной формуле лучше представить с помощью таблицы:

Любое число в этой таблице (кроме ) получается если просуммировать 10 элементов, стоящих слева и сверху от него. Например, в таблице красным цветом выделено число 73, а серым — числа, сумме которых оно равно. Само это число 73 означает, что именно столько существует трёхзначных чисел с суммой цифр 12.

Теперь нужно просуммировать квадраты чисел, стоящих в столбце n=3: 12+32+62 +⋅⋅⋅=55252. Если нужно было бы подсчитать восьмизначные билеты, то потребовалось бы вычислять столбец n=4 до значения k=36.

Метод производящих функций

Билет состоит из двух частей. Рассмотрим произвольный счастливый билет, скажем, 271334 и заменим цифры второй его части на величину, которой им не хватает до 9. То есть 271665.

Теперь сумма всех цифр билета равна 27. Легко заметить, что такой фокус проходит с любым счастливым билетом.

Таким образом, количество счастливых билетов из 2n цифр равно количеству 2n-значных чисел с суммой цифр, равной 9n. То есть

Теперь можно было бы воспользоваться техникой предыдущего пункта и найти число, стоящее в столбце n=6 и в строке k=27. Получилось бы в точности 55252. Но здесь можно воспользоваться техникой производящих функций.

Выпишем производящую функцию G(z), коэффициент при zk у которой будет равен :

Действительно, однозначное число с суммой цифр k (для k=0,…,9) можно представить одним способом. Для k>9 — ноль способов.

Заметим, что если возвести функцию G в квадрат, то коэффициент при zk будет равен числу способов получить сумму k с помощью двух цифр от 0 до 9:

В общем случае, Gn(z) — это производящая функция для чисел , поскольку коэффициент при zk получается перебором всех возможных комбинаций из n цифр от 0 до 9, равных в сумме k. Перепишем производящую функцию в ином виде:

В итоге, нам требуется отыскать

Для этого посмотрим, что будет получаться, если раскрывать скобки в следующем выражении (нас интересует только коэффициенты при z27):

Таким образом,

Решение путём интегрирования

Внимание, данный раздел предназначен для тех, кто знаком с курсом ТФКП.

Воспользуемся производящей функцией G(z) из предыдущего раздела:

Составим ряд Лорана следующим образом:

Значение a0 в данном разложении будет в точности равно [ проверьте ]

Интегральная теорема Коши говорит, что

где интегрирование выполняется по любой простой замкнутой кривой, охватывающей начало координат. Удобно взять , чтобы интегрировать вдоль окружности (такая замена равносильна переходу к полярным координатам):

Теперь подставим сюда H(z):

Итак,

Нетрудно видеть, что в общем случае

Отметим, что в реальности решать эту задачу путём интегрирования чрезвычайно затруднительно. На практике лучше работает метод динамического программирования.

Также в одном из упражнений будет предложено вывести формулу:

вычисление по которой представляется на сегодняшний день очень эффективным.

Источник: http://www.genfunc.ru/theory/lucky/

Число 5 и его последовательности: 55, 555, 5555 | Ангельские Сокровища

Атрибуты числа 5

* Изменения * чувство тупика * безысходность * храбрость * отвага * мужество * мотивация * свобода * активность * энергия * телепатия * интеллект * оказывать влияние * искатель приключений * чувственность * промоутер — создатель и покровитель * природный талант * сознание * здоровье * сочувствие * сострадание * идеализм * нетрадиционный * любопытный * любознательный * магнетизм * опыт * жизненная сила * основополагающие ценности: вера и любовь * мечтатель * фантазер * провидец * индивидуализм * милосердие * изобретательность * творчество * импульсивность * находчивость * материальность * восторженность *

Число 5 символизирует принцип множественности, прогресс и страсть, а так же означает необходимость перемен, разнообразие и новый рост. Число 5 ассоциируется со свободой, изменениями, трансформацией и трансмутацией.

Появление числа 5 символизирует наступление в вашей жизни перемен. Какими бы они ни были на ваш взгляд, в любом случае они произойдут  к лучшему.

Именно сейчас происходит аккумуляция энергии  для того, чтобы направить всю свою силу на необходимые изменения.

Эти изменения могут произойти быстро и даже неожиданно, но они станут предвестниками  положительных энергий и возможностей, которые помогут вам выйти на путь и уже в правильном направлении. Именно это вы и должны понять.

Две повторяющиеся пятерки 55 являются сообщением от ангелов о том, что настало время освободиться от старых взглядов и ограничений, которые тянут вас назад, в прошлое. Это время, когда нужно жить «страстно» — впереди большие перемены, если они УЖЕ не вокруг вас.

Ангельское сообщение 555 также показывает, что значительные изменения жизни близко, а все грядущие преобразования будут исключительно в ваших интересах. Но сейчас у вас есть возможность самим выйти из кокона и открыть для себя удивительную жизнь, которую вы действительно заслуживаете как духовное существо. Ведь ваше предназначение и истинная цель вашей жизни ждут вас!

Последовательность 5555  передает сообщение от Вселенной о том, что ваша жизнь вот-вот пройдет через ряд серьезных изменений, которые приведут к абсолютно новым истинам; все ставшее привычным окажется ненужным и уйдет из вашей жизни.

Это неизбежно. Все это может показаться даже страшным, но мужайтесь – такие изменения в любом случае к лучшему. Вы просто должны быть готовы и ждать неожиданностей – это как на американских горках, когда нужно просто ехать, а не бороться…

Радуйтесь изменениям, которые начинаются!

~~~~~~~

Источник: http://angel-gift.ru/chislo-5-i-ego-posledovatelnosti-55-555-5555/

Нумерология цифр в часах подскажет будущее

  • 30.05.2014
  • Дина Морозова
  • комментарии: 1

Часто бывает так, что несколько раз в день на глаза попадается какое-либо число, в основном, если мы бросаем взгляд на часы. В этом случае, ответ даст нумерология по часам.

Нумерология подскажет, что означают цифры, встречающиеся нам целый день. Не стоит забывать такое число, и если обратить на него внимание и узнать толкование такой «случайности», то можно предсказать событие из своего ближайшего будущего, которое спешат сообщить нам цифры.

Особое значение имеют цифры, которые являются зеркальными друг для друга: 13 и 31, 14 и 41 или повторяющимися — 13:13, 21:21, 10:10. Нумерология советует обратить на часы свое внимание.

Но тут есть пара правил: самыми достоверными будут сообщения цифр в среду и четверг, и стоит удержаться от соблазна сделать себе нужное число или комбинацию цифр.

Интерпретация значений чисел в часах

00.00 — исполнится любое желание, загаданное с чистым сердцем. 01.01 — ждите доброго известия от мужчины. 01.10 — увы, начатое вами дело не принесет ожидаемого результата. 01.11 — не отказывайтесь сегодня ни от каких предложений. 02.02 — ожидайте приглашения в гости или клуб. 02.20 — подавляйте раздражение, следите за словами. 02.

22 — вам откроется некая тайна. 03.03 — в ваши двери стучится любовь. 03.30 — увы, ваше чувство останется безответным. 03.33 — встречайте счастье и удачу. 04.04 — посмотрите на ситуацию с другой стороны. 04.40 — сегодня явно не ваш день. Фортуна к вам не расположена. 04.44 — получите нагоняй от начальства. 05.

05 — тайные враги затевают против вас нечестную игру. 05.50 — остерегайтесь воды и огня. 05.55 — не за горами встреча с мудрым человеком. 06.06 — скорое замужество (женитьба). 07.07 — опасайтесь людей в военной форме. 08.08 — карьерный взлет. 09.09 — берегите кошельки и сумочки. 10.01 — знакомство с влиятельным мужчиной. 10.

10 — наступает время перемен. 11.11 — попадете в зависимость от кого-то (или чего-то). 12.12 — успех на любовном фронте. 12.21 — знакомство с очаровательной женщиной (приятным мужчиной). 13.13 — остерегайтесь соперников. 13.31 — получите то, о чем долго мечтали. 14.14 — нынче балом будет править любовь. 14.41 — попадете в неприятную ситуацию. 15.

15 — последуйте совету мудрого человека. 15.51 — готовьтесь к бурному, но короткому роману. 16.16 — будьте осторожны на дороге. 17.17 — опасайтесь уличных хулиганов. 18.18 — будьте осторожны на дороге. 19.19 — успех в делах. 20.02 — ссора с близким человеком. 20.20 — скандал в семье. 21.12 — рождение ребенка или нового проекта. 21.21 — бурный роман.

22.22 — новое знакомство. 23.23 — опасная связь.

23.32 — проблемы со здоровьем.

Узнать свой нумерологический гороскоп судьбы

Узнать свой Таро расклад на любовные отношения

TaroTaro желает Вам успехов и процветания.
Не забывайте оценивать статью, если она Вам понравилась:

Планета любви Венера находится сейчас в своем знаке Весов. Воспользуйтесь ее благоприятным расположением и наведите порядок в… Читать дальше →

Источник: http://www.TaroTaro.ru/portal/article/numerologiya-cifr-v-chasah-podskazhet-budushchee

Поделиться:
Нет комментариев

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Все поля обязательны для заполнения.

×
Рекомендуем посмотреть