Значение числа 1510

Диапазоны значений целых чисел со знаком

Значение числа 1510

Лекция 4. Арифметические основы компьютеров

Лекция 1

Система счисления.

Система счисления — это способ записи чисел с помощью заданного набора цифр.

Существуют позиционные и непозиционные системы счисления.

В непозиционных системах вес цифры, определяющий значение числа, не зависит от ее позиции в записи числа. Так, в римской системе счисления в числе ХХХ (тридцать ) вес цифры Х в любой позиции равен десяти.

В позиционных системах счисления вес каждой цифры изменяется в зависимости от ее положения (позиции) в последовательности цифр, представляющих число. Например, в числе 757,7 первая семерка означает 7 сотен, вторая – 7 единиц, а третья – 7 десятых долей единицы. Число 757,7 означает по сути сокращенную запись выражения:

700 + 50 + 7 + 0,7 = 7•102 + 5•101 + 7•100 + 7•10-1 = 757,7.

Любая позиционная система счисления характеризуется своим основанием.

Основание позиционной системы счисления определяется количеством цифр, используемых для записи чисел в данной системе.

В десятичной системе используется десять различных цифр. Однако

возможно бесчисленное множество позиционных систем: двоичная, троичная, четверичная и т.д. Запись чисел в системе счисления с основанием — qозначает сокращенную запись выражения в общем виде:

an-1 an-2…. a1 a0 , a-1 a-2… a-m=an-1 qn-1 + an-2 qn-2+ … + a1 q1 + a0 q0 + a-1 q-1 + … + a-m q-m,

где ai – цифры числа в системе счисления; n и m – число целых и дробных разрядов, соответственно.

Целые числа в позиционных системах счисления.

Целые числа в любой системе счисления порождаются с помощью общего Правила счета:

Для образования целого числа, следующего за любым данным целым числом, нужно увеличить самую правую цифру числа на единицу; если в результате этой операции какая-либо цифра стала нулем, то тогда нужно увеличить цифру, стоящую слева от неё на единицу.

Применяя это правило, можно записать первые десять целых чисел

· в двоичной системе: 0, 1, 10, 11, 100, 101, 110, 111, 1000, 1001;

· в троичной системе: 0, 1, 2, 10, 11, 12, 20, 21, 22, 100;

· в пятеричной системе: 0, 1, 2, 3, 4, 10, 11, 12, 13, 14;

· восьмеричной системе: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 10, 11.

Системы счисления для компьютера.

Кроме десятичной широко используются системы с основанием, являющимся целой степенью числа 2, а именно:

· двоичная (используются цифры 0, 1);

· восьмеричная (используются цифры 0, 1, …, 7);

· шестнадцатеричная (для первых десяти цифр от нуля до девяти используются цифры 0, 1, …, 9, а для следующих цифр — от десяти до пятнадцати – в качестве цифр используются символы A, B, C, D, E, F).

Для технической реализации в компьютерах используется двоичная система счисления, потому, что она намного проще десятичной в реализации:

а) для нее нужны технические устройства только с двумя устойчивыми состояниями (есть ток — нет тока, намагничен — не намагничен и т.п.);

б) возможно применение аппарата булевой алгебры для выполнения логических преобразований информации.

Недостатком двоичной системы является быстрый рост числа разрядов, необходимых для записи чисел.

Восьмеричная и шестнадцатеричная системы счисления.

Двоичная система, удобная для компьютеров, для человека неудобна из-за ее громоздкости и непривычной записи.

Перевод чисел из десятичной системы в двоичную и наоборот выполняет машина. Однако, чтобы использовать компьютер, следует понимать слово машины. Для этого и разработаны восьмеричная и шестнадцатеричная системы.

Правило:Перевод восьмеричных и шестнадцатеричных чисел в двоичную систему: достаточно каждую цифру числа заменить эквивалентной ей двоичной триадой (тройкой цифр для восьмеричной) или тетрадой (четверкой двоичных цифр для 16-ой системы).

Например: 1538 = 001 101 0112 .

Правило:Чтобы, наоборот, перевести число из двоичной системы в восьмеричную или шестнадцатеричную, его нужно разбить влево и вправо от запятой на триады (для восьмеричной) или тетрады (для шестнадцатеричной) и каждую такую группу заменить соответствующей восьмеричной (шестнадцатеричной) цифрой.

Например: 010 100 1112 = 2478 .

Перевод целого числа из десятичной системы в любую другую позиционную систему счисления.

Правило:При переводе целого десятичного числа в систему с основанием q его необходимо последовательно делить на q до тех пор, пока не останется остаток, меньший или равный q–1. Число в системе с основанием q записывается тогда, как последовательность остатков от деления, но записанных в обратном порядке, начиная с последней цифры.

Пример: Перевести число 7510 из десятичной системы в двоичную, восьмеричную и шестнадцатеричную:

Ответ: 7510 = 1 001 0112 = 1138 = 4B16.

2 8 16

75 | 1 75 | 3 75 | B (11)

37 | 1 9 | 1 4 | 4

18 | 0 1 | 1 0 |

9 | 1 0 |

4 | 0 /\

2 | 0 |

1 | 1 |

0 |

Пеpевод пpавильной десятичной дpоби в любую

Другую позиционную систему счисления.

Правило: Пpи переводе правильной десятичной дpоби в систему счисления с основанием q необходимо сначала саму дробь, а затем дробные части всех последующих произведений последовательно умножать на q, отделяя после каждого умножения целую часть пpоизведения. Тогда число в новой системе счисления записывается как последовательность полученных целых частей пpоизведения.

Умножение пpоизводится до тех поp, пока дpобная часть пpоизведения не станет pавной нулю. Это значит, что сделан точный пеpевод числа. В пpотивном случае пеpевод осуществляется до заданной точности. Достаточно того количества цифp в pезультате, котоpое поместится в ячейку памяти.

Пример: Перевести число 0,3510 из десятичной системы в двоичную, восьмеричную и шестнадцатеричную:

Например: 0,3510 *8 = (0,) (2),8*8 = (6),4*8 = (3),2 = 0,2638

0,3510 *2 = (0,) (0),7*2 = (1),4*2 = (0),8*2=(1),6*2=(1),2*2=(0),4=0,0101102

0,3510 *16 = (0,) (5),6*16 = (9),6 = 0,5916

Ответ: 0,3510 = 0,0101102 = 0,2638 = 0,5916 .

Пеpевод числа из двоичной (восьмеpичной, шестнадцатеpичной) системы в десятичную.

Правило: При переводе числа из двоичной (восьмеричной, шестнадцатеричной) системы в десятичную надо это число представить в виде суммы степеней основания его системы счисления.

Примеp: 1138 = 1*82 + 1*81 + 3*80 = 64+ 8 + 3 = 7510.

Арифметические операции в позиционных системах счисления.

Правила выполнения арифметических операций в десятичной системе— это сложение, вычитание, умножение столбиком и деление углом. Эти правила также применимы и ко всем другим позиционным системам счисления.

Сложение

Для сложения используется следующее Правило Счета — при сложении цифры суммируются по разрядам, и если при этом возникает избыток, то переносится влево единица.

Пример 1. Сложим целые числа 1510 и 610 в различных системах счисления.

178 (1510) F16 (1510) 11112 (1510)

+ 68 + 616 + 1102

—— ———— ————

258 (1310-810=58) 1516 (2110-1610=516) 101012

Ответ: 1510 + 610 = 2110 = 101012 = 258 = F16+616 = 1516.

Проверка. Для контроля преобразуем полученные суммы к десятичному виду и получим в результате число 2110:
101012 = 24 + 22 + 20 = 16+4+1 = 2110,
258 = 2*81 + 5*80 = 16 + 5 = 2110,
1516 = 1*161 + 5*160 = 16+5 = 2110.

Пример 2. Сложим в различных системах счисления вещественные числа 141,510 и 59,7510.

Ответ: 141,510 + 59,7510 = 201,2510 = 11001001,012 = 311,28 = C9,416

8 0,2510 *8= 0, (2),0 = 0,28

201 | 1

25 | 1

3 | 3

0 | 3118 +0,28 = 311,28

Проверка. Для контроля преобразуем полученные суммы к десятичному виду:

11001001,012 = 27 + 26 + 23 + 20 + 2-2 = 128+64+8+1+ 0,25= 201,2510

311,28 = 3*82 + 1•81 + 1*80 + 2*8-1 = 192+8+1+0,25= 201,2510

C9,416 = 12*161 + 9*160 + 4*16-1 = 192+9+0,25= 201,2510

Вычитание

Операция вычитания является обратной по отношению к сложению.

Пример 3.

Вычтем единицу из чисел в разных системах счисления: 102, 108 и 1016 :

102 – 12 = 12 ; 108 — 1= 78 ; 1016 — 1 = F16 .

Пример 4. Вычтем число 59,7510 из числа 201,2510.

Ответ: 201,2510 – 59,7510 = 141,510 = 10001101,12 = 215,48 = 8D,816.

8 0,510* 8 = 0, (4)0 = 0,48

141 | 5

17 | 1

2 | 2

0 | 2158 + 0,48 = 215,48

Проверка. Преобразуем полученные разности к десятичному виду:
10001101,12 = 27 + 23 + 22 + 20 + 2–1 = 128+8+4+1+0,5= 141,510;
215,48 = 2*82 + 1*81 + 5*80 + 4*8–1 = 128+8+5+0,5= 141,510;
8D,816 = 8*161 + D*160 + 8*16–1 = 128+13+0,5= 141,510.

Умножение

Правило. Для умножения многозначных чисел в различных позиционных системах счисления можно использовать обычный алгоритм перемножения чисел в столбик ( как в десятичной системе счисления), но при этом перемножение и сложение чисел необходимо выполнять по правилам арифметики уже новой системы счисления.

Умножение столбиком в двоичной системе сводится к сдвигам множимого и сложениям по раздядам.

Пример 7. Перемножим числа 510 и 610.

Ответ: 510*610 = 3010 = 111102 = 368.

2 или 1012 (510)

3010 | 0 *1102 (610)

15 | 1 ————

7 | 1 0002

3 | 1 101

1 | 1 101

0 —————

111102

Проверка. Преобразуем полученные произведения к десятичному виду:

111102 = 24 + 23 + 22 + 21 = 3010

368 = 3•81 + 6•80 = 3010.

Деление

Правило. Деление в любой позиционной системе счисления производится по тем же правилам, как и деление уголком в десятичной системе, но с особенностями новой системы счисления.

Пример8. Разделим число 3010 на число 610.

Ответ: 3010 : 610 = 510 = 1012 = 58.

Пример 9. Разделим число 3510 на число 1410, здесь 3510 = 438 , 1410= 168 .

3510 : 1410 = 2,510

В восьмеричной же системе: 438 : 168 = 2,48.

Действительно, в результате деления уголком получаем:

438 |168 168 168

348 2,4 * 2 * 4

708 348 (6*2=1210 = 148) 708 (6*4 = 2410 = 308)

708 (1*2+1=3) (1*4+3 = 7)

Ответ: 3510 : 1410 = 2,510 = 10,12 = 2,48.

Проверка. Для проверки преобразуем полученные частные к десятичному виду:
10,12 = 21 + 2 -1 = 2,510;
2,48 = 2*80 + 4*8-1 = 2,510.

Лекция 2

Представление в компьютере целых чисел.

Целые числа могут представляться в компьютере в двоичной системе счисления со знаком или без знака.

Целые числа без знака обычно занимают в памяти один или два байта и принимают в однобайтовом формате значения от 000000002 до 111111112 , а в двухбайтовом формате — от 00000000 000000002 до 11111111 111111112.

Диапазоны значений целых чисел без знака

Формат числа в байтах Диапазон
Запись с порядком Обычная запись
0 … 28–1 0 … 255
0 … 216–1 0 … 65535

Примеры:

а) число в однобайтовом формате: 7210 = 1108 = 010010002

б) это же число в двубайтовом формате: 7210 = 00000000010010002

в) число 65535 в двубайтовом формате: 6553510 = 11111111111111112

Целые числа со знаком

Целые числа со знаком обычно занимают в памяти компьютера один, два или четыре байта, при этом самый левый (старший) разряд содержит информацию о знаке числа. Знак “плюс” кодируется нулем, а “минус” — единицей.

Диапазоны значений целых чисел со знаком

Формат числа в байтах Диапазон
Запись с порядком Обычная запись
–27 … 27–1 –128 … 127
–215 … 215–1 –32768 … 32767
–231 … 231–1 –2147483648 … 2147483647

Рассмотрим особенности записи целых чисел со знаком на примере однобайтового формата, при котором для знака отводится один разряд, а для цифр абсолютной величины – семь разрядов.

В компьютерной технике применяются три формы записи (кодирования) целых чисел со знаком: прямой код, обратный код, дополнительный код.

Последние две формы применяются особенно широко, так как позволяют упростить конструкцию арифметико-логического устройства компьютера путем замены разнообразных арифметических операций операцией cложения.

Положительные числа в прямом, обратном и дополнительном кодах изображаются одинаково — двоичными кодами с цифрой 0 в знаковом разряде.

Отрицательные числа в прямом, обратном и дополнительном кодах имеют разное представление.

1. Прямой код. В знаковый разряд помещается цифра 1, а в разряды цифровой части числа — двоичный код его абсолютной величины. Например: -538 =101010112.

2. Обратный код. Получается инвертированием всех цифр двоичного кода абсолютной величины числа, включая разряд знака: нули заменяются единицами, а единицы — нулями. Например: -538 = 010101002.

3. Дополнительный код. Получается образованием обратного кода с последующим прибавлением единицы к его младшему разряду.

Например: -538 =

010101002

+ 000000012

¾¾¾¾¾¾

= 010101012

Источник: http://stydopedia.ru/2x80c9.html

Задание 4 — Решение заданий ЕГЭ по информатике

Задание 4 - Решение заданий ЕГЭ по информатике

Кодирование и операции над числами в разных система счисления 

     Двоичная система счисления

№1. Ко­ли­че­ство зна­ча­щих нулей в дво­ич­нойза­пи­си де­ся­тич­но­го числа 222 равно

1) 5

2) 2

3) 3

4) 4

По­яс­не­ние.

1. Пе­ре­ведём 22210 в дво­ич­ную си­сте­мусчис­ле­ния. По­лу­чи­ли: 22210 =110111102.

2. Под­счи­та­ем ко­ли­че­ство зна­ча­щих нулей: их 2.

№2. Для каж­до­го из пе­ре­чис­лен­ных нижечисел по­стро­и­ли дво­ич­ную за­пись. Ука­жи­те число, дво­ич­ная за­пись ко­то­ро­госо­дер­жит ровно две еди­ни­цы. Если таких чисел не­сколь­ко, ука­жи­те наи­боль­шееиз них.

1) 8

2) 9

3) 10

4) 11

По­яс­не­ние.

Пред­ста­вим все числа в дво­ич­ной си­сте­ме счис­ле­ния:

810 = 10002,

910 = 10012,

1010 = 10102,

1110 = 10112.

Из чисел 9 и 10 вы­би­ра­ем число 10, по­сколь­ку оно яв­ля­ет­сянаи­боль­шим.

Пра­виль­ный ответ ука­зан под но­ме­ром 3.

№3. Для каж­до­го из пе­ре­чис­лен­ных нижечисел по­стро­и­ли дво­ич­ную за­пись. Ука­жи­те число, дво­ич­ная за­пись ко­то­ро­госо­дер­жит ровно два зна­ча­щих нуля. Если таких чисел не­сколь­ко, ука­жи­тенаи­боль­шее из них.

1) 7

2) 8

3) 9

4) 10

По­яс­не­ние.

Пред­ста­вим все числа в дво­ич­ной си­сте­ме счис­ле­ния:

710 = 1112,

810 = 10002,

910 = 10012,

1010 = 10102.

Из чисел 9 и 10 вы­би­ра­ем число 10, по­сколь­ку оно яв­ля­ет­сянаи­боль­шим.

Пра­виль­ный ответ ука­зан под но­ме­ром 4.

№4. Сколь­ко еди­ниц в дво­ич­ной за­пи­си де­ся­тич­но­гочисла 307?

1) 5

2) 2

3) 3

4) 4

По­яс­не­ние.

Пе­ре­ве­дем число из де­ся­тич­ной си­сте­мы счис­ле­ния вдво­ич­ную: нужно де­лить его на 2, пока де­ли­мое не будет мень­ше 2. После за­пи­шемостат­ки от де­ле­ния на­чи­ная с конца.

30710=1001100112

№5. Сколь­ко еди­ниц в дво­ич­ной за­пи­си де­ся­тич­но­гочисла 625?

1) 1

2) 3

3) 5

4) 2

По­яс­не­ние.

Пе­ре­ве­дем число из де­ся­тич­ной си­сте­мы счис­ле­ния вдво­ич­ную: нужно де­лить его на 2, пока де­ли­мое не будет мень­ше 2. После за­пи­шемостат­ки от де­ле­ния на­чи­ная с конца.

62510=10011100012

№6. Сколь­ко еди­ниц в дво­ич­ной за­пи­си де­ся­тич­но­гочисла 127?

1) 1

2) 2

3) 6

4) 7

По­яс­не­ние.

Пе­ре­ведём 127 в дво­ич­ную си­сте­му счис­ле­ния и со­счи­та­емко­ли­че­ство еди­ниц:

12710=11111112

№7. Сколь­ко еди­ниц в дво­ич­ной за­пи­си де­ся­тич­но­гочисла 206?

1) 5

2) 2

3) 3

4) 4

По­яс­не­ние.

. В этом числе 5 еди­ниц.

№8. Сколь­ко еди­ниц в дво­ич­ной за­пи­си де­ся­тич­но­гочисла 1025?

1) 1

2) 2

3) 10

4) 11

По­яс­не­ние.

Пе­ре­ве­дем число в дво­ич­ную си­сте­му счис­ле­ния:

102510 = 1024 + 1 = 210 + 1= 100000000012.

В дво­ич­ной за­пи­си 2 еди­ни­цы.

№9. Сколь­ко еди­ниц в дво­ич­ной за­пи­си де­ся­тич­но­гочисла 514?

1) 2

2) 3

3) 4

4) 5

По­яс­не­ние.

Пе­ре­ве­дем 514 в дво­ич­ную си­сте­му счис­ле­ния.

В этой за­пи­си 2 еди­ни­цы.

№10. Сколь­ко еди­ниц в дво­ич­ной за­пи­си де­ся­тич­но­гочисла 255?

1) 1

2) 2

3) 7

4) 8

По­яс­не­ние.

Пе­ре­ве­дем де­ся­тич­ное число 255 в дво­ич­ную си­сте­мусчис­ле­ния:  Итого 8 еди­ниц. Такой ответука­зан под но­ме­ром 4.

Ответ: 4.

       Различные системы счисления

№1. Дано А = A716, B = 2518.Най­ди­те сумму A + B.

1) 1010110002

2) 1010101002

3) 1010101102

4) 1010100002

По­яс­не­ние.

Пе­ре­ве­дем числа в де­ся­тич­ную си­сте­му счис­ле­ния, вы­пол­нимсло­же­ние, и пе­ре­ве­дем сумму в дво­ич­ную си­сте­му счис­ле­ния:

A716 = 10⋅16 + 7 = 16710.

2518 = 2⋅82 + 5⋅8+ 1 = 16910.

33610 = 1⋅28 + 1⋅26 +1⋅24 =1010100002.

Также су­ще­ству­ет вто­рой спо­соб:

1. Пе­ре­ве­дем числа в дво­ич­ную си­сте­му счис­ле­ния(через три­а­ды и тет­ра­ды). А2 = 1010 0111,

В2 = 010 101 001.

2. Вы­пол­ним сло­же­ние дво­ич­ных чисел: 10100111 +10101001 = 101010000.

№2. Ука­жи­те наи­мень­шее четырёхзнач­ное вось­ме­рич­ноечисло, дво­ич­ная за­пись ко­то­ро­го со­дер­жит 5 еди­ниц. В от­ве­те за­пи­ши­тетоль­ко само вось­ме­рич­ное число, ос­но­ва­ние си­сте­мы счис­ле­ния ука­зы­ватьне нужно.

По­яс­не­ние.

Наи­мень­шее число из пяти еди­ниц в дво­ич­ной си­сте­месчис­ле­ния — 1 11112. Пре­об­ра­зу­ем число так, чтобы при пе­ре­во­дев вось­ме­рич­ную си­сте­му счис­ле­ния по­лу­ча­лось четырёхзнач­ное число.Для этого нужно, что число со­сто­я­ло из четырёх триад, то есть со­сто­я­ло издве­на­дца­ти сим­во­лов. Наи­мень­шее число, удо­вле­тво­ря­ю­щее усло­вию за­да­чи:001 000 001 1112 = 10178.

Ответ: 1017.

№3. Сколь­ко еди­ниц в дво­ич­ной за­пи­си де­ся­тич­но­гочисла 245?

По­яс­не­ние.

Пе­ре­ведём число 245 в дво­ич­ную си­сте­му:

24510 = 27 + 26 +25 + 24 + 22 + 20 =111101012.

Ответ: 6.

№4. Какое из не­ра­венств вы­пол­ня­ет­ся для чисел А = 1648,В = А316 и С = 22004?

1) A

Источник: https://sites.google.com/site/reseniezadanijinformatikipoege/home/zadanie-4

§ 16

§ 16§ 16. Двоичная система счисления

Десятичная и двоичная системы счисления

Системой счисления называют определенные правила записи чисел и связанные с ними способы выполнения вычислений.

С историей систем счисления вы познакомитесь в главе 7 учебника. А пока нас будут интересовать двоичная и десятичная системы счисления.

Система счисления, к которой мы все привыкли, называется десятичной. Объясняется это название тем, что в ней используются десять цифр: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Число цифр определяет основание системы счисления.

Если число цифр — десять, то основание системы счисления равно десяти. В двоичной же системе существует всего две цифры: 0 и 1. Основание равно двум. Возникает вопрос, можно ли с помощью всего двух цифр представить любую величину.

Оказывается, можно!

Развернутая форма записи числа

Вспомним принцип записи чисел в десятичной системе счисления. Значение цифры в записи числа зависит не только от самой цифры, но и от места расположения этой цифры в числе (говорят: от позиции цифры). Например, в числе 333 первая справа цифра обозначает: три единицы, следующая — три десятка, следующая — три сотни. Этот факт можно выразить равенством:

33310 = 3 · 102 + 3 · 101 + 3 · 100 = 300 + 30 + 3.

В данном равенстве выражение, стоящее справа от знака «равно», называется развернутой формой записи многозначного числа. Вот еще пример развернутой формы записи многозначного десятичного числа:

825710 = 8 · 103 + 2 · 102 + 5 · 101 + 7 · 100 = 8000 + 200 + 50 + 7.

Таким образом, с продвижением от цифры к цифре справа налево «вес» каждой цифры увеличивается в 10 раз. Это связано с тем, что основание системы счисления равно десяти.

Перевод двоичных чисел в десятичную систему

А вот пример многозначного двоичного числа:

1101012.

Двойка внизу справа указывает на основание системы счисления. Это нужно для того, чтобы не перепутать двоичное число с десятичным. Ведь существует же десятичное число 110101! Вес каждой следующей цифры в двоичном числе при продвижении справа налево возрастает в 2 раза. Развернутая форма записи данного двоичного числа выглядит так:

1101012 = 1 · 25 + 1 · 24 + 0 · 23 + 1 · 22 + 0 · 21 + 1 · 20 = 5310.

Таким способом мы перевели двоичное число в десятичную систему.

Переведем в десятичную систему еще несколько двоичных чисел.

102 = 21 = 2;      1002 = 22 = 4;      10002 = 23 = 8;
100002 = 24 = 16;    1000002 = 25 = 32  и т. д.

Таким образом, получилось, что двузначному десятичному числу соответствует шестизначное двоичное! И это характерно для двоичной системы: быстрый рост количества цифр с увеличением значения числа.

Вот как выглядит начало натурального ряда чисел в десятичной (А10) и двоичной (А2) системах счисления:

A10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
A2 1 10 11 100 101 110 111 1000 1001 1010
A10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
A2 1011 1100 1101 1110 1111 10000 10001 10010 10011 10100

Перевод десятичных чисел в двоичную систему

Как перевести двоичное число в равное ему десятичное, вам должно быть понятно из рассмотренных выше примеров. А как осуществить обратный перевод: из десятичной системы в двоичную? Для этого нужно суметь разложить десятичное число на слагаемые, представляющие собой степени двойки. Например:

1510 = 8 + 4 + 2 + 1 = 1 · 23 + 1 · 22 + 1 · 21 + 1 · 20 = 11112.

Это сложно. Есть другой способ, с которым мы сейчас и познакомимся.

Существует процедура, позволяющая легко выполнить перевод десятичного числа в двоичную систему. Она состоит в том, что данное десятичное число делится на 2. Полученный остаток — это младший разряд искомого числа.

Полученное частное снова делится на 2, полученный при этом остаток — это следующий разряд искомого числа. Так продолжается до тех пор, пока частное не станет меньше двойки (основания системы).

Это частное — старшая цифра искомого числа.

Существуют два способа записи деления на 2. Продемонстрируем это на примере перевода числа 37 в двоичную систему.

Здесь а5, а4, а3, а2, а1, а0 — обозначения цифр в записи двоичного числа по порядку слева направо. В результате перевода получим: 3710 = 1001012.

Арифметика двоичных чисел

Правила двоичной арифметики гораздо проще правил десятичной арифметики. Вот все возможные варианты сложения и умножения однозначных двоичных чисел.

0 + 0 = 0                      0 x 0 = 0 0 + 1 = 1                      0 x 1 = 0 1 + 0 = 1                      1 x 0 = 0

1 + 1 = 10                    1 x 1 = 1

Своей простотой и согласованностью с битовой структурой компьютерной памяти двоичная система счисления и привлекла изобретателей компьютера. Ее гораздо проще реализовать техническими средствами, чем десятичную систему.

Вот пример сложения столбиком двух многозначных двоичных чисел:

  1011011101
  +111010110
10010110011

А теперь посмотрите внимательно на следующий пример умножения многозначных двоичных чисел:

      1101101
    x        101       1101101

  1101101

1000100001

После небольшой тренировки любой из вас такие вычисления будет выполнять автоматически.

Коротко о главном

Система счисления — определенные правила записи чисел и связанные с этими правилами способы выполнения вычислений.

Основание системы счисления равно количеству используемых в ней цифр.

Двоичные числа — числа в двоичной системе счисления. В их записи используются две цифры: 0 и 1.

Развернутая форма записи двоичного числа — это его представление в виде суммы степеней двойки, умноженных на 0 или на 1.

Использование двоичных чисел в компьютере связано с битовой структурой компьютерной памяти и простотой двоичной арифметики.

Источник: http://school-25.ru/informatika/uch_9kl_sem/16.html

Занятие 2

Занятие 2

  1. Какие системы счисления называются позиционными? Приведите примеры.
  2. Какие системы счисления называются непозиционными? Приведите примеры.
  3. Почему непозиционные системы счисления не получили развития в математике?
  4. Приведите примеры того, что, кроме десятичной позиционной системы счисления, человечество использовало и другие.

  5. Как вычислить значение числа в римской системе счисления?
  6. Запишите в римской системе счисления следующие числа: 144, 301, 1583, 2078, 959, 999.
  7. Запишите в десятичной системе счисления, называя группы цифр: CMXLVI, CDLXIX, CMLXXX,MMCXC.
  8. Дайте определения алфавита и основания (в позиционной) системе счисления.

    Наряду с понятиями алфавита и основания в позиционных системах счисления будем использовать понятие базиса.
    Базис позиционной системы счисления – это последовательность чисел, каждое из которых задает значение цифры «по месту» или «вес» каждого разряда.


    В привычной нам десятичной системе счисления базисом являются степени числа десять – 1, 10, 100, 1000, 1000… Это означает, что в записи числа каждая последующая цифра «весит» больше предыдущей в 10 раз. Более наглядно это проявляется в так называемой развернутой форме записи числа.
    444=4*100+4+101+4*102; 658=8*100+5*101+6*102.

    Натуральный ряд чисел в десятичной системе счисления: 1..9, 10..99, 100…

    Кроме десятичной, мы будем рассматривать и другие позиционные системы счисления.

    В восьмеричной системе счисления основание равно 8, алфавит составляют цифры от 0 до 7, базисом является последовательность 1, 8, 82, 83, 84…, т.е.

, каждая последующая цифра в 8 раз больше предыдущей. В развернутой форме восьмеричное число записывается так: 3458=5*80+4*81+3*82     Натуральный ряд чисел в восьмеричной системе счисления: 1..7,10, 11..

77, 100…

    Таким образом, справедливо, что 810=108.

    В троичной системе счисления основание равно 3, алфавит составляют цифры 0,1,2, базисом являются числа 1, 3, 32, 33, 34…,т.е., единица каждого разряда в 3 раза больше предыдущей. В развернутой форме троичное число записывается так: 120=0*30+2*31+1*32. Натуральный ряд чисел в троичной системе счисления: 1, 2, 10, 11, 12, 20, 21, 22, 100… Сравнивая десятичный и троичный рады натуральных чисел, получаем, что 310=103.
    Двоичная система счисления имеет алфавит, состоящий из цифр 0 и 1, основание, равное двум, базисную последовательность 1, 2, 22, 23,24,… Развернутая запись числа 101102=0*20+1*21+1*22+1*23+1*24. Натуральный ряд чисел: 1, 10, 11, 100, 101, 110, 111… Таким образом, 210=102.
    В шестнадцатеричной системе счисления в алфавите, кроме цифр 0..9, используются заглавные буквы латинского алфавита A, B, C, D, E, F, которые обозначают цифры 10, 11, 12, 13, 14, 15. Основание шестнадцатеричной системы счисления равно 16, базис составляют степени числа 16. Развернутая форма записи шестнадцатеричного числа 3А516=5*160+10*161+3*162. Натуральный ряд чисел 1..9, А..F, 10, 11, 12… Значит, 1610=1016.

    Т.о.

, позиционная система счисления с основанием P характеризуется тем, что с помощью ограниченного набора цифр можно записать сколь угодно большое и сколь угодно малое число в виде суммы произведений цифр на положительные и отрицательные степени числа Р.
    В общем виде это можно записать так: anan-1an-2…a1a0,b1b2…bk=an*pn+an-1*pn-1+…+a1*p1+a0*p0+b1*p-1+b2*p-2+…+bk*p-k
    где р — основание системы счисления, аi,bi – цифры р-ичного числа.

Правила перевода чисел в десятичную систему счисления

    Запишем в развернутой форме числа:
    14310=3*100+4*101+1*102;
    143,7810=3*100+4*101+1*102+7*10-1+8*10-2;
    56,318=6*80+5*81+3*8-1+1*8-2;
    1011,012=1*20+1*21+0*22+1*23+0*2-1+1*2-2;
    FC,1516=12*160+15*161+1*16-1+5*16-2;
    Если мы вычислим суммы, записанные в каждой строчке, то это будет не что иное, как число в десятичной системе счисления.

Таким образом, получаем первый алгоритм (правило) перевода чисел в десятичную систему счисления.

  1. Для перевода числа, записанного в системе счисления с основанием Р, в десятичную, нужно записать это число в развернутом виде, т.е. каждую цифру умножить не ее вес и вычислить сумму полученных произведений. Весом цифры называется соответствующая степень основания системы счисления.

    Полученный алгоритм можно переформулировать следующим образом:

  2. Для перевода числа, записанного в системе счисления с основанием Р, в десятичную, нужно пронумеровать цифры его целой части справа налево, начиная с 0, и дробной части – слева направо, начиная с (-1), затем найти произведение каждой цифры числа на степень основания, где показателем степени является номер цифры, и сложить полученные значения.

    Пусть число 341 записано цифрами девятеричной, восьмеричной, шестеричной и шестнадцатеричной систем счисления, найдем его десятичное значение.
    3419=3*92+4*91+1*90=28010;
    3418=3*82+4*81+1*80=22510;
    3416=3*62+4*61+1*60=13310;
    34116=3*162+4*161+1*160=83310;

Перевод чисел из десятичной системы счисления

    Целые числа

    Для обратного перевода нужно разложить десятичное число на слагаемые, содержащие максимальную степень основания нужной системы счисления.

К примеру, переведем десятичное число 15 в двоичную, троичную и восьмеричную системы счисления соответственно:
    1510=8+4+2+1=1*23+1*22+121+1*20=11112;
    1510=9+6=1*32+2*31+0*30=1203;
    1510=8+7=1*81+7*80=178;     Так можно переводить любые натуральные числа в десятичную систему счисления.

    Попробуйте самостоятельно выполнить следующие задания:

    Переведите в двоичную систему счисления десятичные числа 39 и 157. Коротко эти задания можно записать так: 3910→ Х2 и 15710→Х2.

    Если вы получили 1001112 и 100111012 соответственно, то все выполнено правильно.

    Получили, что для перевода целого десятичного числа в систему счисления с основанием Р нужно разложить это число на слагаемые, содержащие максимальную степень числа Р и выписать коэффициенты (множители) при этих степенях. Вместо отсутствующей степени нужно записать 0.


    Легко заметить, что множители при степенях Р не что иное, как остатки от последовательного деления десятичного числа на Р. Тогда запись Р-ичного числа превращается в последовательность остатков от деления на Р, записанных в обратном порядке.

    Так получаем другой способ перевода целых чисел из десятичной системы счисления:
    Для перевода целого десятичного числа в Р-ичную систему счисления, нужно последовательно делить число и получающиеся частные на Р, запоминая остатки, до тех пор, пока последнее частное не будет равно 0. После этого выписать полученные остатки в обратном порядке.

    Сравните последовательность остатков, полученных при делении, с ответом, который вы получили в последнем примере.     При решении задач вы можете использовать любой из способов. Заметим лишь, что при переводе больших десятичных чисел в систему счисления с малым основанием (к примеру, в двоичную) первый способ гораздо быстрее приведет вас к результату.

    Перевод правильных дробей и смешанных чисел

    Напомним, что десятичная дробь называется правильной, если имеет нулевую целую часть.

    Для перевода правильной десятичной дроби в Р-ичную систему счисления, ее нужно последовательно умножать на Р, запоминая и отбрасывая целую часть до тех пор, пока не произойдет одно из событий:

  • Дробная часть не окажется равной нулю;
  • Не будет выделен период в случае бесконечной периодической дроби;
  • Не будет получено нужное количество знаков после запятой (не будет достигнута необходимая точность) в случае бесконечной непериодической дроби.

Р-ичную запись правильной дроби будут составлять целые части в порядке их получения.

    Переведем правильную десятичную дробь 0,875 в двоичную систему счисления: Процесс умножения закончен, т.к. получена нулевая дробная часть.

Последовательность целых частей, выписанных в порядке получения, является дробной частью числа в двоичной системе счисления. Целая часть двоичной дроби равна нулю. Итак, 0,87510=0,1112. Убедитесь в этом, выполнив обратный перевод.

    Для смешанных чисел целая и дробная части переводятся отдельно по своим алгоритмам, полученные результаты складываются.

Задачи
К оглавлению

Источник: http://slbazhenova.narod.ru/ss/texts/ls2.html

Поделиться:
Нет комментариев

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Все поля обязательны для заполнения.

×
Рекомендуем посмотреть